下午两点的北大图书馆特藏区,阳光透过高窗,在林舟面前的 MS-7802 号手稿上投下长方形的光斑。
泛黄的纸页上,张益唐先生的字迹工整有力,在 “退化椭圆曲线的 Tate 局部对偶性” 章节旁,画着一个半完成的矩阵 —— 这正是林舟卡了一上午的地方。
手稿里写着:“Tate 局部对偶性可关联椭圆曲线在局部域上的点群与 L 函数的局部因子”,可他翻遍了《代数数论进阶》里的局部域章节,也没搞懂 “局部点群的对偶结构如何对应到 L 函数的零点阶数”。
草稿本上画满了局部域的赋值图,进度条停在 8.9%,比上午只涨了 0.1%,笔尖在 “局部对偶” 西个字上反复划圈,纸页都快被戳破了。
“师兄,请问你现在有空吗?”
清脆的声音从身后传来,林舟回头,见一个穿白色卫衣的女生站在书架旁,手里抱着一本《椭圆曲线基础》,笔记本上记满了彩色标注。
女生看着眼熟,好像是上学期选修 “代数几何导论” 时坐在前排的本科生。
“是你啊,有什么事?”
林舟合上手稿,指尖还沾着点手稿纸的旧墨味。
“我叫苏晓棠,是数学系大三的。”
女生把笔记本递过来,指着其中一页的习题,“这道题求椭圆曲线 y²=x³+4x 的有理点,我用 Nagell-Lutz 定理找了 x 为整数的情况,只找到 (0,0),但总觉得还有遗漏,想请教你是不是哪里错了。”
林舟接过笔记本,扫了眼习题 —— 这是他本科时做过的基础题,关键在 “非整数有理点” 的寻找。
他拿起笔,在草稿纸上写:“Nagell-Lutz 定理只限定有限阶点的坐标是整数,无限阶点可能是分数坐标。
你试试设 x=2t²,代入方程得 y²=8t⁶+8t²=8t²(t⁴+1),令 y=2t・s,得 s²=2 (t⁴+1),再找 t 的有理数值……”他没讲太久,苏晓棠很快就反应过来:“哦!
我之前只盯着整数 x,忘了可以用参数替换找分数点!”
她低头在笔记本上补算,笔尖划过纸页的速度很快,“之前问过三个师兄,都只说‘用定理就行’,师兄你讲得特别清楚,太谢谢你了!”
林舟笑了笑,刚要把笔记本还她,苏晓棠突然瞥见他草稿本上的 “Tate 局部对偶性” 字样,眼睛亮了:“师兄在研究 BSD 猜想?
我听陈院士的讲座提过,这可是世界难题!”
“只是刚入门,还在啃基础。”
林舟把草稿本往后翻了翻,遮住手稿相关的内容 —— 系统的事不能说,手稿也是导师特批的,不好随便外露。
苏晓棠却没追问,只是抱着笔记本晃了晃:“师兄帮我解决了***烦,晚上我请你吃饭吧?
学一食堂的糖醋排骨特别好吃,就当感谢你了!”
她眼神很真诚,又补充了句,“我攒了好久的问题,今天终于问明白,不然下周的作业都交不了。”
林舟本想拒绝,可看着苏晓棠手里写得密密麻麻的笔记,想起自己研一时也总麻烦师兄,便点了点头:“行,不过别点太多,食堂菜量挺大的。”
傍晚六点的学一食堂,人声鼎沸。
苏晓棠端着餐盘找过来,盘子里除了糖醋排骨,还有两份蔬菜和一碗玉米汤:“师兄,我多打了份汤,你别嫌弃。”
她把排骨推到林舟面前,“听说吃甜的能让人思路清晰,你研究难题肯定需要。”
林舟拿起筷子,刚咬了口排骨,就见苏晓棠从包里掏出一张皱巴巴的海报:“对了师兄,下周系里有线性代数复习讲座,主讲老师是李教授,海报上还印了复习提纲呢。”
她把海报摊在桌上,上面用表格列着 “矩阵对角化二次型与对称矩阵” 等知识点,表格边缘画着一个 2×2 的对角矩阵。
就在这时,林舟的目光落在了那个对角矩阵上 —— 海报上的矩阵元素是局部域的赋值(比如 v₂(2)=1,v₃(3)=1),像突然有根线在脑子里牵了一下,他猛地放下筷子,抓起桌上的草稿本。
“师兄你怎么了?”
苏晓棠被他的动作吓了一跳。
林舟没说话,笔尖飞快地在纸上写:Tate 局部对偶性里的 “局部点群”,不就是局部域上的有限生成模吗?
而模的对偶结构,正好可以用矩阵表示!
他之前一首卡在 “局部点群如何对应 L 函数局部因子”,却忘了局部域的赋值可以转化为矩阵的对角元素 —— 就像海报上的对角矩阵,每个元素对应一个局部域的赋值,而矩阵的秩,恰好能关联到莫代尔群的秩!
他翻到草稿本上画的局部域赋值图,在旁边补画了一个 3×3 的对角矩阵:第一行对应有理数域ℚ,第二行对应 2-adic 域ℚ₂,第三行对应 3-adic 域ℚ₃,每个对角元素是该局部域上的点群阶数。
然后根据 Tate 对偶性,矩阵的行列式值正好等于 L 函数在 s=1 处的局部因子乘积 —— 之前算的那条退化曲线,L 函数的局部因子乘积为 1,行列式值也为 1,这就对应了莫代尔群秩为 0 的情况!
“原来如此!”
林舟忍不住低呼出声,笔尖在纸上划过的速度越来越快,把矩阵与局部因子的对应关系一步步写清楚。
意识里的进度条突然跳动起来,从 8.9% 猛地涨到 12.5%,系统弹出淡蓝色提示:BSD 第一关关键节点突破:成功建立局部域矩阵表示与 L 函数局部因子的关联,奠定 “秩与零点阶数” 的初步对应基础节点奖励发放:1. 脑域逻辑关联能力提升(强化跨学科知识串联效率,当前提升幅度 12%);2. 平行世界科技产物 —— 椭圆曲线数值模拟工具(理论版),可辅助验证局部因子计算结果,需掌握数值分析基础后解锁使用提示弹出的瞬间,林舟太阳穴传来一阵温和的酥麻感,不像初次启动时的刺痛,更像温水流过神经 —— 刚才还觉得晦涩的 “局部域模结构”,此刻突然和本科时学的 “线性代数矩阵秩” 串联起来,甚至能联想到手稿里未完成的矩阵推导方向;草稿本上之前画错的赋值图,现在一眼就能看出问题所在,思维清晰度比之前高了不止一个层次。
“师兄,你眼神亮了好多!”
苏晓棠凑过来看了眼草稿本,虽然很多公式看不懂,但能明显感觉到林舟的状态变化,“是不是真的想通难题了?”
林舟这才回过神,笑着点头:“多亏了你这张海报,帮我想到了矩阵的用法。”
他指着海报上的对角矩阵,又下意识摸了摸太阳穴 —— 酥麻感还在,脑子里的思路像被理清的线团,“局部域的赋值用矩阵表示,就能和 L 函数的局部因子对应起来,之前一首没想到这个关联。”
“真的吗?
那我也算帮到师兄了!”
苏晓棠笑得眼睛弯成了月牙,又把排骨往他面前推了推,“那你多吃点,争取早点攻克难题!
对了师兄,我以后要是遇到椭圆曲线的问题,还能请教你吗?
我也想跟着陈院士学代数几何。”
“当然可以,有问题随时找我。”
林舟拿起筷子,咬排骨时觉得思维更活跃了 —— 刚突破的节点、系统的奖励,还有苏晓棠带来的 “矩阵灵感”,像三块拼图拼在了一起。
他看了眼窗外,食堂外的路灯己经亮了,灯光透过玻璃照在草稿本的矩阵上,那些原本晦涩的公式,此刻竟能清晰联想到后续的推导方向。
吃完饭,苏晓棠帮着收拾餐盘,临走时还不忘提醒:“师兄,下周的线性代数讲座,我帮你占位置吧?
说不定还能帮你想到新思路呢!”
林舟点头应下,看着苏晓棠的背影消失在食堂门口,才在意识里调出系统的奖励说明 ——“椭圆曲线数值模拟工具(理论版)” 的解锁条件里,明确写着 “需掌握《数值分析》中‘有限元逼近’章节”,正好对应陈院士上周推荐他补的课程。
他在草稿本上补了行字:“1. 学有限元逼近→解锁模拟工具;2. 补模曲线局部因子计算”。